|
"Хвойные бореальной зоны" 2008г.,№3-4, с.
346-350
Работа передачи при отсутствии скольжения между ГПЦ и шкивами
Козинов Г.Л.1, Старостин Г.И.2
1ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»
660049 Красноярск, пр. Мира, 82; e-mail: pts@sibstu.kts.ru
2ГОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»
Красноярск, пр. Свободный 82
В системе нить – шкивы, в нашем случае гибкая пильная цепь (ГПЦ) – шкивы, действуют три силы: сила натяжения нити; текущее усилие, действующее по касательной в точке контакта нити со шкивом; текущее усилие, действующее по нормали. Для их определения известно два уравнения равновесия. Но, поскольку неизвестных три, необходимо третье уравнение – уравнение совместного деформирования нити и шкивов. Работа посвящена выводу этого уравнения.
Ключевые слова: нить, шкивы, гибкая пильная цепь, силы, уравнения
In system a string - pulleys, in our case flexible catting circuit (FCC) - pulleys, operate three forces: force of a tension of a string; the current effort working on a tangent in a point of contact of a string with a pulley; the current effort working on a normal. For their definition it is known two equations of balance. But, as unknown persons three, the third equation - the equation of joint deformation of a string and pulleys is necessary. Work is devoted to a conclusion of this equation.
Key words: a string, pulleys, flexible catting circuit, forces, the equations
Введение
Под термином ГПЦ понимается гибкая пильная цепь, состоящая из каната, или иного гибкого несущего органа, и резцов кольцевой формы одетых на несущий орган (Козинов, 1999).
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Передачи гибкой связью (ремнем, канатом) широко применяются в лесной отрасли. Работа передач гибкой связью возможна при отсутствии скольжения в месте контакта гибкой связи со шкивами и при образовании и развитии зоны скольжения. Поэтому, разбив эту задачу на две, определим силовые параметры, возникающие в системе.
Рассмотрим схему взаимодействия ГПЦ и шкивов в любой (текущий) момент времени.
На рис.1: , , - текущее натяжение ГПЦ на дугах обхвата; натяжение ведущей и ведомой ветвей ГПЦ, Н; , - приращения усилия в бесконечно малом по длине элементе ГПЦ, на ведущем и ведомом шкивах, Н; , - радиус ведущего и ведомого шкивов, м; d? - бесконечно малая по величине часть угла обхвата ведущего и ведомого шкивов, рад; , , - текущее усилие действующее по нормали; усилия, действующие по нормали на ведущем и ведомом шкивах, Н; , , - текущее усилие, действующее по касательной; усилия, действующие по касательной, на ведущем и ведомом шкивах, Н; - линейная скорость движения ГПЦ, м/с; - момент сопротивления, действующий на ведомом шкиве, Нм; l0 - длина ГПЦ, м; 2 - межосевое расстояние между центрами ведущего и ведомого шкивов, м; - межосевое расстояние между центрами ведущего и ведомого шкивов различного диаметра, м; - текущий угол обхвата ГПЦ ведущего и ведомого шкивов, рад; - полный угол обхвата ГПЦ ведущего и ведомого шкивов, рад; - часть угла обхвата, образовавшаяся при различных диаметрах ведущего и ведомого шкивов, рад; , - усилия в набегающей и сбегающей ветвях ГПЦ, Н; - монтажное натяжение ГПЦ, Н.
ПРИНЯТЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
Для решения задачи сделаем некоторые предположения.
1. ГПЦ можно рассматривать как нить, поскольку “нить - материальная линия, кото-рая под действием внешних сил может принимать любую форму” (Щедров, 1961).
В соответствии с этим определением будем считать ГПЦ:
1) идеальной нитью (то есть ГПЦ не сопротивляется изгибу и кручению);
2) растяжимой нитью (то есть коэффициент растяжимости ГПЦ , так как в выражении, f =1+T/ES, . Здесь - сечение нити; - модуль упругости материала ГПЦ);
3) нитью, подчиняющейся закону Гука (то есть будем рассматривать работу ГПЦ в пределах упругости - до наступления пластических деформаций);
Рисунок 1 - Расчетная схема передачи
4) однородной нитью (то есть будем считать, что линейная плотность ГПЦ в любой точке постоянная, . Здесь масса элемента ГПЦ длиной .
2. Материал обода футеровки шкива является упругим, а металлическая часть абсолютно жесткой.
3. Усилие от шкива к ГПЦ передается за счет силы трения, причем, если , то ГПЦ и шкив в зоне контакта деформируются совместно, если , то происходит скольжение ГПЦ относительно шкива, где - коэффициент трения ГПЦ о шкив; - коэффициент, учитывающий сцепные качества ГПЦ с футеровкой.
4. Шкив имеет покрытие, которое при действии касательной нагрузки упруго сдвигается в тангенциальном направлении, а под действием нормальной нагрузки упруго смещается в нормальном направлении.
5. В зонах совместного смещения ГПЦ и футеровки уравнения совместного смещения имеют вид:
- для ведущего шкива:
, (1)
- для ведомого шкива:
, (2)
где , - коэффициенты, определяемые из условия совместного деформирования ГПЦ и шкивов.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Определим коэффициенты ,
В соответствии с предположением (1) имеем уравнение равновесия ГПЦ на поверхности шкивов в виде (Щедров, 1961)
, (3)
где - сила инерции, Н; - центробежная сила, Н; причем:
,
, (4)
где , - нормальное и касательное (тангенциальное) ускорение, м/с; - погонная масса ГПЦ, кг/м; - угловое ускорение, рад/с; - частота вращения шкива, рад/с; - шаг постановки резцов, мм.
Уравнение (3) содержит три неизвестных функции , , .
Для их определения необходимо иметь три уравнения, одно из которых уравнение совместного деформирования ГПЦ и шкива.
Для его вывода рассмотрим схему сил, действующих на элемент ГПЦ в месте контакта ее со шкивами, (рис.2).
Рисунок 2 - Схема сил, действующих в месте контакта ГПЦ со шкивами: а - для ведущего шкива; б - для ведомого шкива
В точке набегания соответствующие точки ГПЦ и шкива совпадают и не скользят друг относительно друга. (рис.1).
При повороте шкива на угол :
1) В ГПЦ за счет изменения натяжения в точке произойдет смещение , относительно точки набегания, которое - в соответствии с законом Гука - записывается следующим образом
, (5)
где - модуль Юнга, несущего элементы ГПЦ, Н/м2; -площадь поперечного сечения несущего элемента ГПЦ, м2; , - толщина резиновой футеровки на ведущем и ведомом шкивах, м; , - радиус металлической части ведущего и ведомого шкивов, м;
2) внешняя поверхность шкива за счет изменения касательного усилия - получит в точке смещение относительно точки набегания.
Условие совместного деформирования ГПЦ и шкива имеет вид:
= , (6)
Зависимость смещения - от изменения усилия - определим из решения следующей задачи.
Рассмотрим элемент шкива с малым углом , (рис.1).
Для резиновой футеровки имеем соотношения
, (7)
где - сдвиг резиновой части; , - компоненты смещения в системе координат .
Из (7), интегрируя по , выразим
, (8)
На основании предположения 2 (об абсолютной жесткости металлической части шкива) имеем
, , (9)
Поскольку смещение определяется равенством , то, учитывая (8) и первое равенство (9), получим
, (10)
Далее считаем, что
а) деформация обусловлена равномерным сдвиговым напряжением (постоянным в пределах рассматриваемого элемента), действующим на внешней поверхности шкива , причем
, (11)
где - ширина шкива, м; - усилие в точке набегания,
б) радиальное смещение обусловлено равномерным давлением , действующим на внешней поверхности шкива (r=R), причем
, (12)
где - значение усилия в точке набегания.
Тогда: - для определения зависимости используем решение задачи о чистом сдвиге;
- для определения зависимости используем решение задачи Ламе (Безухов, 1968).
На основании предположения (2) и в соответствии с рис.1 , имеем для сдвига закон Гука.
Рисунок 3 - Схема сдвиговых напряжений
, (13)
где - касательное (сдвиговое) напряжение, причем , - модуль сдвига резины, Н/м2, причем , где - модуль Юнга резины, Н/м2; - коэффициент
Пуассона резины.
Так как принято постоянным в пределах элемента, то справедливо равенство , откуда
, (14)
Учитывая выражения (11) и (14), из (13) получаем искомую зависимость
, (15)
Решение задачи Ламе имеет вид (Безухов, 1968)
, (16)
где , - постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий:
, , (17)
Рисунок 4 - Схема для определения постоянных интегрирования, по методу Ламе
Напряжение связано со смещением законом Гука (Безухов, 1968)
,
из которого после подстановки (16) получаем
, (18)
Удовлетворяя первому условию (17), и на основании зависимости (16) получим
, откуда , (19)
и подставляя в (3.18), получим
, (20)
Удовлетворяя теперь второму условию (17) , и на основании (20) получим
, откуда получим
, (21)
В итоге, подставляя выражения для , из (20), (21) в (16) и учитывая (12), получим искомую зависимость
, (22)
где .
Используя (22) , выражаем второй подынтегральный член уравнения (10
, (23)
Найденные зависимости (15) и (21) подставляем в (10), получаем
, (24)
ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Подставив (24) в (6) и далее в (5), получаем условие совместного деформирования ГПЦ и шкива в виде (1) и (2),где:
,
При малых толщинах футеровки можно пользоваться упрощенными формулами для , , а именно: ; .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные условия совместности деформаций ГПЦ и шкивов, являются недостающими уравнениями, позволяющими определить все три силовых параметра в уравнениях равновесия ГПЦ на поверхности шкивов (3)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Козинов, Г.Л. Беззажимная распиловка древесины гибкими нитями: дисс…. докт. техн. наук: 05.21.01. / Г.Л. Козинов. – Воронеж, 1999.-345с.
Щедров, В.С. Основы механики гибкой нити [Текст]/ В.С. Щедров. - М.: Машгиз. 1961.-170 с.
Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести [Текст] / Н.И. Безухов. - М.: Высшая школа. 1968. - 512 с.
Поступила в редакцию 10 апреля 2008 г.
Принята к печати 27 августа 2008 г. |